קיום של 6 מימדים - תרגיל בגיאומטריה מאת איתמר אשפר

< English Version >

נגדיר נקודה בתור האטום התיאורטי שלנו:  נבחר נקודה אחת ונקרא לה נקודת האפס. 

כדי להגדיר קו, נניח מצד אחד של הנקודה נקודה נוספת, ובדיוק מצידה השני עוד נקודה. כך הגדרנו כיוון, שנקרא לו "אורך".  כל נקודה על פני הקו ניתנת לאיתור באמצעות מדידת מספר הנקודות בינה ובין נקודת האפס, וציון הכיוון שלה יחסית לנקודת האפס: מצד ימין (שנקרא לו פלוס) או מצד שמאל (שנקרא לו מינוס).
כדי להגדיר נקודה על הקו נזדקק למדידה אחת, ולכן נאמר שהאורך הוא חד-מימדי.  את מיקום הנקודה נציין באמצעות קואורדינאטה אחת: Y , שיכולה להיות כל מספר אמיתי (שלילי או חיובי)

עכשיו נגדיר קו נוסף, באותה שיטה, בשימוש הכלל הבא:  הקו שנגדיר יחצה את קו האורך, בדיוק בנקודת האפס, ויהיה ניצב לו.  הגדרנו עוד כיוון, שנקרא לו "רוחב".  כל נקודה על קו הרוחב יכולה להיות מוגדרת ע"י קואורדינאטה אחת, בדיוק כמו על קו האורך.  אולם למעשה קיבלנו גישה לאינסוף נקודות, שכל אחת מהן נוכל להגדיר ע"י מדידת שני מרחקים:  המרחק הקצר ביותר בין הנקודה לקו האורך, כלומר ציון מיקומה על ציר הרוחב (X) , והמרחק הקטן ביותר בינה ובין קו הרוחב, .כלומר מיקומה על ציר האורך (Y).

הגדרנו אינסוף נקודות, אך לכולן יש מכנה משותף אחד:  כולן נמצאות על אותו "מישור", שמוגדר ע"י קו אורך וקו רוחב.  כל אחת מהנקודות יכולה להיות מוגדרת ע"י מדידת שני מרחקים, ולכן נאמר שהמישור הוא דו-מימדי.

כעת נגדיר ציר שלישי לפי אותו כלל ששימש אותנו בבניית המערכת:  ציר שמצטלב עם שאר הצירים בנקודת האפס, וניצב לשניהם.  יש ציר אחד שמתאים לכלל הזה, ונקרא לו "גובה".  שוב קיבלנו גישה לאינסוף נקודות חדשות, רק שהפעם עלינו לציין גם את מרחקן מהמישור שמכיל את שני הצירים הקודמים - כלומר גם את מידת הגובה שלהן.

לקבוצת הנקודות שאנחנו יכולים לגשת אליהן כרגע, נקרא "מרחב". כל נקודה במרחב מוגדרת ע"י ציון שלוש קואורדינאטות, X, Y, ו-Z.

עד כה הגדרנו שלושה מימדים.  אולם מהו המימד הרביעי? 

אם נמשיך לפי אותם כללים, וננסה לצייר קו שלישי, שיחתוך את כל המימדים בזויות ישרה ובנקודת האפס, נגלה שאיננו יכולים לצייר קו כזה.

אולם, אם ציירנו את מערכת הצירים עד כה, הרי שהיא קיימת כבר זמן מה.  נקודת האפס שלה נצטיירה בזמן מסוים, והוספנו צירים המצטלבים איתה.  ניתן לאומר שיש עוד ציר, ציר הזמן, שמצטלב עם נקודת האפס (כלומר מכיל אותה), והוא ניצב לכל שאר הצירים שקיימים בה.  לקואורדינאטת הזמן נקרא בינתיים T, וכך נוכל לציין כל נקודה במרחב הארבע-מימדי שהגדרנו ע"י ציון ארבע קואורדינאטות: T לציון המיקום בזמן, ו- X,Y,Z - לציון המיקום במרחב.  את הזמן אנחנו מודדים ביחידות שוות שנקראות שניות.

גודל של אובייקט בזמן הוא משך הזמן מהיווצרותו של האובייקט עד להיעלמותו.  כלומר:משך הקיום שלו.  המחשה:

תיבה ארבע-ממדית היא תיבה שמופיעה ונעלמת אחרי כמות זמן מסוימת.  אם נגדיר שנייה כ"מטר זמן",  הרי שתיבה בגודל מטר על מטר על מטר שמופיעה למשך שנייה היא קובייה ארבע-מימדית.

נכון, שבלתי-אפשרי להוסיף את ציר הזמן לשרטוט שלנו, אולם אם נקטין את המרחב של שלושת המימדים לכדי נקודה אחת, ונאמר שהנקודה מייצגת את היקום התלת-מימדי כולו בנקודת זמן מסוימת - אזי נוכל לצייר עוד נקודה לידה, שתייצג את היקום בנקודת זמן אחרת.  כך נוכל לצייר שירטוט שכולנו מכירים מספרי ההיסטוריה: ציר הזמן.  בגלל הדמיון בין תפיסתנו את הזמן לתפיסתנו מימד אחד - האורך - נוכל לקרוא לקואורדינאטת  הזמן גם Y₁.

אם היקום התלת-מימדי מצטמצם לכדי נקודה, והמימד הרביעי לקו, מהו המישור, כלומר המימד החמישי?

נמשיך לפי אותה שיטה:  נציב קו לציר הזמן, שמצטלב איתו בנקודת האפס, ובאמצעותו נוכל לגשת לאינסוף "נקודות" (אני מזכיר שכל "נקודה" כזו היא יקום תלת-מימדי אינסופי) חדשות, שנמצאות "ליד" ציר הזמן שלנו.  נניח שנקודות אלו מגדירות יקומים תלת-ממדיים מקבילים לשלנו, שמבחינתנו מעולם לא התגשמו - אנו חיים בציר זמן מסויים אחד - ומכילות כל מיני אפשרויות להיסטוריה אלטרנטיבית, ונכנה את המישור החמישה-מימדי שקיבלנו - "מישור האפשרויות".  כל נקודה על פני המישור הזה תהיה מוגדרת ע"י ציון חמש קואורדינאטות:  X₁ כדי להגדיר על איזה ציר-זמן אנו מדברים, Y₁ לציון המיקום על ציר הזמן המדובר, ו-X,Y,Z לציון המיקום במרחב.

עד עכשיו, בכל פעם שהוספנו ציר למערכת שלנו (כלומר הוספנו לה מימד), הכרנו בקיומן של אינסוף נקודות חדשות, שלא יכולנו להגדיר במערכת הקודמת.  לאוסף הנקודות החדשות תמיד היה משהו במשותף - כולן על אותו מישור, כולן בתוך אותו מרחב, כולן קיימות על אותו ציר זמן.  מה משותף לנקודות החדשות שקיימות על אותו "מישור הזדמנויות"?

נניח שאני אבקש ממך, הקורא, להרים יד אחת באוויר (ונניח שתסכים).  קיימת אפשרות שתרים את יד ימין, וקיימת אפשרות שתרים את יד שמאל.  ניתן לאומר שיש ציר זמן אחד שבו בחרת באפשרות הראשונה, וציר זמן אחר, מקביל לו וקרוב אליו, שבו בחרת באפשרות השנייה.  מבחינתנו, לא קיימת האפשרות שתצמח לפתע יד שלישית באמצע מצחך ושאותה תבחר להרים.  האפשרות הזאת לא קיימת במציאות הפיזיקאלית שמוכרת לנו, ולכן היא לא נמצאת על אותו מישור אפשרויות שבו אנו נמצאים.

מסתבר שקיים מימד נוסף, שישי, שמכיל את המציאויות האחרות, שאינן אמיתיות מבחינתנו.  כלומר:  כפי שנקודת הזמן שבה אנו נמצאים היא נקודה אחת על ציר זמן אינסופי, וכפי שציר הזמן הזה הוא אחד מתוך אינסוף צירי זמן אלטרנטיביים למציאות שלנו, גם המציאות שלנו היא אחת מאינסוף מציאויות מקבילות ושונות זו מזו, שלכולן יש קיום פיזי, וכל נקודה בהן נוכל לציין באמצעות שש קואורדינאטות:  Z₁ לציון המציאות, X₁ לציון ציר הזמן בתוך המציאות, Y₁ לציון נקודת הזמן, ו-X,Y,Z לציון המיקום.

הגדרנו מערכת צירים שמכילה את כל המציאויות האפשריות, כל ההיסטוריות האפשריות לכל מציאות, וכל היקומים הפיזיקאליים בתוך כל היסטוריה כזו.  לא מצאתי משמעות מעשית לקיום של מימדים גבוהים יותר, למרות שבאופן תיאורטי ניתן להגדיר  מימדים נוספים לאין סוף.  למערכת הצירים הזאת, המכילה את כל מה שקיים ויכול להיות קיים, אני קורא "קיום".

... יש שאלות???

עוד על ההבדל בין המימד החמישי לשישי

מה יש בתוך מערכת הצירים המורכבת הזאת ואיך כל זה מתקשר לפרקטלים - על כך במאמר הבא...